Квадратные уравнения. Решение квадратных уравнений. Дискриминант. Формула дискриминанта. Примеры.

Квадратное уравнение — это уравнение вида \(ax^2+bx+c=0\), где \(a\), \(b\) — коэффициенты уравнения, \(c\) — свободный член, а \(x\) — неизвестная переменная.

Существует несколько видов квадратных уравнение:

  1. Полное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором \(a\neq0\), \(b\neq0\) и \(c\neq0\).
  2. Неполное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором \(b=0\) или \(c=0\).
  3. Приведенное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором коэффициент \(a=1\) (если \(a\neq1\), тогда квадратное уравнение называется неприведенным).

Самый простой способ нахождения корней квадратного уравнения — через вычисление дискриминанта \(D\). Алгоритм решения следующий:

  1. Приводим уравнение к виду \(ax^2+bx+c=0\)
  2. Вычисляем дискриминант по формуле \(D=b^2-4ac\).
    \(\bullet\) Если \(D>0\), тогда уравнение имеет два корня.
    \(\bullet\) Если \(D=0\), тогда уравнение имеет один корня.
    \(\bullet\) Если \(D<0\), тогда уравнение не имеет корней.
  3. Находим корни квадратного уравнения по формуле \( \displaystyle x=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).
    Отсюда получаем: \( \displaystyle \begin{cases} {x_1=\frac{-b + \sqrt{D}}{2a}} \\ {x_2=\frac{-b — \sqrt{D}}{2a}} \end{cases}\).

Решим несколько примеров:

Пример 1:

\(x^2+2x+3=0\)
\(D=b^2-4ac=2^2-4 \cdot 1 \cdot 3=-8\) — решений нет, т. к. \(D<0\).

Пример 2:

\(2x^2+5x+2=0\)
\(D=b^2-4ac=5^2-4 \cdot 2 \cdot 2=9\) — два корня, т. к. \(D>0\).
\(x_1=\frac{-b + \sqrt{D}}{2a}=\frac{-5+\sqrt9}{2\cdot2}=-0,5\)
\(x_2=\frac{-b + \sqrt{D}}{2a}=\frac{-5-\sqrt9}{2\cdot2}=-2\)

Пример 3:

\(4x^2+4x+1=0\)
\(D=b^2-4ac=4^2-4 \cdot 4 \cdot 1=0\) — один корня, т. к. \(D=0\).
\(x_1=\frac{-b + \sqrt{D}}{2a}=\frac{-4+\sqrt0}{2\cdot4}=-0,5\)
\(x_2=\frac{-b + \sqrt{D}}{2a}=\frac{-4-\sqrt0}{2\cdot2}=-0,5\)

Как видим, получилось один корень, т. к. корень квадратный из нуля равен нулю. Поэтому, если \(D=0\), тогда корень квадратного уравнения можно найти по следующей формуле \(\displaystyle x=\frac{-b}{2a}\).