Квадратные уравнения. Решение квадратных уравнений. Дискриминант.

Квадратное уравнение – это уравнение вида $ax^2+bx+c=0$ , где $a$ , $b$ – коэффициенты уравнения, $c$ – свободный член, а $x$ – неизвестная переменная.

Существует несколько видов квадратных уравнение:

Полное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором $a\neq0$ , $b\neq0$ и $c\neq0$ .
Неполное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором $b=0$ или $c=0$ .
Приведенное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором коэффициент $a=1$ (если $a\neq1$ , тогда квадратное уравнение называется неприведенным).

Самый простой способ нахождения корней квадратного уравнения – через вычисление дискриминанта $D$ . Алгоритм решения следующий:

Приводим уравнение к виду $ax^2+bx+c=0$
Вычисляем дискриминант по формуле $D=b^2-4ac$ .
$\bullet$ Если $D>0$ , тогда уравнение имеет два корня.
$\bullet$ Если $D=0$ , тогда уравнение имеет один корня.
$\bullet$ Если $D<0$ , тогда уравнение не имеет корней.
Находим корни квадратного уравнения по формуле $\displaystyle x=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ .
Отсюда получаем: $\displaystyle \begin{cases} {x_1=\frac{-b + \sqrt{D}}{2a}} \\ {x_2=\frac{-b - \sqrt{D}}{2a}} \end{cases}$ .

Решим несколько примеров:

Пример 1:

x^2+2x+3=0

D=b^2-4ac=2^2-4 \cdot 1 \cdot 3=-8

– решений нет, т. к.

D<0

Пример 2:

2x^2+5x+2=0

D=b^2-4ac=5^2-4 \cdot 2 \cdot 2=9

– два корня, т. к.

D>0

x_1=\frac{-b + \sqrt{D}}{2a}=\frac{-5+\sqrt9}{2\cdot2}=-0,5

x_2=\frac{-b + \sqrt{D}}{2a}=\frac{-5-\sqrt9}{2\cdot2}=-2

Пример 3:

4x^2+4x+1=0

D=b^2-4ac=4^2-4 \cdot 4 \cdot 1=0

– один корня, т. к.

D=0

x_1=\frac{-b + \sqrt{D}}{2a}=\frac{-4+\sqrt0}{2\cdot4}=-0,5

x_2=\frac{-b + \sqrt{D}}{2a}=\frac{-4-\sqrt0}{2\cdot2}=-0,5

Как видим, получилось один корень, т. к. корень квадратный из нуля равен нулю. Поэтому, если $D=0$ , тогда корень квадратного уравнения можно найти по следующей формуле $\displaystyle x=\frac{-b}{2a}$ .