Три луча, выходящие из одной точки, разбивают плоскость на \(3\) разных угла, измеряемых целым числом градусов. Наибольший угол в \(2\) раза больше наименьшего. Сколько значений может принимать величина среднего угла?
Решение
Пусть \(x\) — величина наименьшего угла; \(y\) — величина среднего угла. Тогда, величина наибольшего угла — \(2x\) (т.к. величина наибольшего угла в \(2\) раза больше наименьшего).
Полный угол равен \(360^{\circ}\). Отсюда можно составить уравнение:
\(x+y+2x=360\);
\(y=360-3x\).
Т.к. величина среднего угла должна быть больше наименьшего угла и меньше наибольшего угла, можно составить систему уравнений:
\(\begin{cases}{y>x}\\{y<2x}\end{cases}\).
Подставим значение \(y\):
\(\begin{cases} {360-3x>x} \\ {360-3x<2x} \end{cases}\);
\(72<x<90\).
Т.к. углы измеряются целым числом градусов (по условию), то в диапазоне от \(72\) до \(90\) таких значений \(17\) (не включая \(72\) и \(90\)).
Ответ: \(17\).
Источник: ЕГЭ 2022. Единый государственный экзамен. Математика. Базовый уровень. Готовимся к итоговой аттестации. Учебное пособие (вариант №17) (Купить книгу)