Три луча, выходящие из одной точки, разбивают плоскость на \(3\) разных угла, измеряемых целым числом градусов. Наибольший угол в \(6\) раза больше наименьшего. Сколько значений может принимать величина среднего угла?
Решение
Пусть \(x\) — величина наименьшего угла; \(y\) — величина среднего угла. Тогда, величина наибольшего угла — \(6x\) (т.к. величина наибольшего угла в \(6\) раза больше наименьшего).
Полный угол равен \(360^{\circ}\). Отсюда можно составить уравнение:
\(x+y+6x=360\);
\(y=360-7x\).
Т.к. величина среднего угла должна быть больше наименьшего угла и меньше наибольшего угла, можно составить систему уравнений:
\(\begin{cases}{y>x}\\{y<7x}\end{cases}\).
Подставим значение \(y\):
\(\begin{cases} {360-7x>x} \\ {360-7x<6x} \end{cases}\);
\(27,69…<x<45\).
Т.к. углы измеряются целым числом градусов (по условию), то в диапазоне от \(24\) до \(40\) таких значений \(17\) (не включая \(27,69…\) и \(45\)).
Ответ: \(17\).
Источник: ЕГЭ 2022. Единый государственный экзамен. Математика. Базовый уровень. Готовимся к итоговой аттестации. Учебное пособие (вариант №15) (Купить книгу)