Касательная в точках A и B к окружности с центром в точке O пересекаются под углом 56°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.
Решение
Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, \angle OAC=\angle OBC=90^{\circ}.
ACBO является четырехугольником. А в четырехугольнике сумма углов равна 360^{\circ}. Можно найти \angle AOB: \angle AOB=360^{\circ}- \angle OAC- \angle ACB- \angle CBO=360^{\circ}- 90^{\circ}- 56^{\circ}- 90^{\circ}=124^{\circ}.Рассмотрим треугольник ABO. Данный треугольник является равнобедренным, т.к. AO=OB=r. Соответственно, углы при основании равны \angle ABO=\angle OAB. А сумма углов треугольника равна 180^{\circ}, отсюда можно найти \angle ABO:
\angle ABO + \angle AOB+ \angle OAB=180^{\circ}; \angle ABO+124^{\circ}+\angle OAB=180^{\circ}; \angle ABO+\angle OAB=180^{\circ}-124^{\circ}; \angle ABO+\angle OAB=56^{\circ}.Отсюда \angle ABO=\angle OAB=56^{\circ} \div 2=28^{\circ} (углы при основании равнобедренного треугольника равны).
Ответ: 28.
Источник: ОГЭ-2025. Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов. Ященко И. В. (вариант 36) (Решебник)
ОГЭ-2024. Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 26) (Решебник)