Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 15. Найдите высоту этого треугольника.
Решение
Центр вписанной в треугольник окружности – точка пересечения его биссектрис. А в равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы и высоты совпадают
А в равностороннем треугольнике высоты точкой пересечения делятся в отношении 2:1 считая от вершины. Получается, что каждая высота состоит из 2+1=3 частей.
Получается, что высота BH состоит из 3 частей. При этом, одну часть мы знаем, она равняется радиусу (расстояние от центра вписанной окружности до точки касания её со стороной треугольника равно радиусу). Соответственно, три части равняется 15 \cdot 3=45.
Получается, что высота равностороннего треугольника равна 45.
Ответ: 45.
Источник: ОГЭ-2025. Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов. Ященко И. В. (вариант 29) (Решебник)
ОГЭ-2024. Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 19) (Решебник)