Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK=18, DK=9, BC=16. Найдите AD.
Решение
Треугольники KAD и KBC подобны по первому признаку подобия (два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника):
Первое: \angle K – общий для данных треугольников.
Второе:
Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника ABCD равна 180^{\circ}:
\angle ABC+\angle ADC=180^{\circ}; \angle ABC=180^{\circ}-\angle ADC. \angle ADK и \angle ADC – смежные (два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжением одна другой). А у смежных углов сумма равна 180^{\circ}. Значит: \angle ADK+ \angle ADC=180^{\circ}; \angle ADK=180^{\circ}-\angle ADC.Получилось, что \angle ADK=\angle ABC.
В итоге получаем, что \angle K – общий и \angle ADK=\angle ABC.
Одно из свойств подобных треугольников гласит: у подобных треугольников соответствующие стороны пропорциональны:
\displaystyle \frac{KD}{KB}=\frac{AD}{BC}; \displaystyle \frac{9}{18}=\frac{AD}{16}; 18AD=9 \cdot 16; 2AD=16; AD=8.Ответ: 8.
Источник: ОГЭ-2025. Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов. Ященко И. В. (вариант 21) (Решебник)
ОГЭ-2024. Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 11) (Решебник)