Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AC=36, MN=28. Площадь треугольника ABC равна 162. Найдите площадь треугольника MNB.
Решение
Треугольники ABC и MBN подобны по первому признаку подобия (по двум углам):
Угол B является общим;
\angle BAC=\angle BMN как соответственные углы при двух параллельных прямых и секущей.Найдем коэффициент подобия треугольников (величина, равная отношению сходственных сторон треугольников):
\displaystyle k=\frac{AC}{MN}=\frac{36}{28}=\frac{9}{7}.Теорема об отношении площадей подобных треугольников гласит: отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Т.е.:
\displaystyle \frac{S_{\bigtriangleup ABC}}{S_{\bigtriangleup MNB}}=k^2; \displaystyle \frac{162}{S_{\bigtriangleup MNB}}=\left(\frac{9}{7}\right)^2; \displaystyle \frac{162}{S_{\bigtriangleup MNB}}=\frac{81}{49}; 162 \cdot 49=S_{\bigtriangleup MNB} \cdot 81; 2 \cdot 49=S_{\bigtriangleup MNB}; S_{\bigtriangleup NMB}=98.Ответ: 98.
Источник: ОГЭ-2025. Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов. Ященко И. В. (вариант 32) (Решебник)
ОГЭ-2024. Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 22) (Решебник)