На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опущена высота CH, AH=3, BH=27. Найдите CH.

Решение

Треугольники $ACH$ и $BCH$ подобны по двум углам $\angle AHC=\angle BHC$ и $\angle CAH=\angle BCH$ ):

Т.к. высота $CH$ – высота, тогда $\angle AHC=\angle BHC.$

\angle CAH+\angle AHC + \angle ACH=180^{\circ};

\angle CAH+90^{\circ} + \angle ACH=180^{\circ};

\angle CAH=180^{\circ}-90^{\circ}-\angle ACH;

\angle CAH=90^{\circ}-\angle ACH.

Так же заметим, что $\angle BCH=\angle C-\angle ACH=90^{\circ}-\angle ACH.$

Получилось, что $\angle CAH=\angle BCH.$

Запишем пропорцию (в подобных треугольниках стороны пропорциональны):

\displaystyle \frac{AH}{CH}=\frac{CH}{BH};

AH \cdot BH=CH \cdot CH;

AH \cdot BH=CH^2;

3 \cdot 27=CH^2;

CH^2=81;

CH=9.

Ответ: $9$ .

Источник: ОГЭ-2025. Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов. Ященко И. В. (вариант 30) (Решебник)

ОГЭ-2025. Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов. Ященко И. В. (вариант 30) (Решебник)

ОГЭ-2024. Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 20) (Решебник)