У Яны есть попрыгунчик (каучуковый мячик). Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока попрыгунчик подлетел на высоту 240 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза меньшей предыдущей. После какого по счету отскока высота, на которую подлетит попрыгунчик, станет меньше 5 см?
Решение
Первый вариант решения:
После каждого следующего отскока от асфальта попрыгунчик подлетал на высоту в два раза меньшей предыдущей.
Первый отскок 240 см;
Второй отскок 240 \div 2=120 см;
Третий отскок 120 \div 2=60 см;
Четвертый отскок 60 \div 2=30 см;
Пятый отскок 30 \div 2=15 см;
Шестой отскок 15 \div 2=7,5 см;
Седьмой отскок 7,5 \div 2=3,75 см.
Получилось, что после седьмого отскока высота, на которую подлетит попрыгунчик, станет меньше 5 см.
Второй вариант решения:
В данной задаче представлена геометрическая прогрессия (после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в два раза меньшей предыдущей). Для решения воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии b_n=b_1 \cdot q^{n-1}, где q – знаменатель.
Запишем известные данные:
b_1=240; \displaystyle q=\frac{1}{2} (подлетает на высоту в два раза меньшей предыдущей). b_n должно быть меньше 5. \displaystyle 240 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{q-1}<5; \displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{q-1}<\frac{5}{240}; \displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{q-1}<\frac{1}{48}.При n=6 неравенство будет иметь вид:
\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{6-1}<\frac{1}{48}; \displaystyle \frac{1}{32}<\frac{1}{48} – не верно.При n=7 неравенство будет иметь вид:
\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{7-1}<\frac{1}{48}; \displaystyle \frac{1}{64}<\frac{1}{48} – верно.Значит после 7 отскока попрыгунчик подлетит на высоту меньше 5 см.
Ответ: 7.
Источник: ОГЭ-2025. Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов. Ященко И. В. (вариант 33) (Решебник)
ОГЭ-2024. Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 23) (Решебник)