Список заданий викторины состоял из \(40\) вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал \(9\) очков, за неправильный ответ с него списывали \(11\) очков, а при отсутствие ответа давали \(0\) очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший \(171\) очко, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся.
Решение
Пусть \(x\) – количество правильных ответов, \(y\) – количество неправильных ответов (причем \(y≥1\), т.к. известно, что ученик хотя бы один раз ошибся) и \(z\) – количество заданий без ответа. Тогда можно составить первое уравнение:
\(x+y+z=40\)
Т.к. за каждый правильный ответ ученик получал \(9\) очков, за неправильный списывали \(11\) очков, а если не отвечал, то давали \(0\) очков. То можно составить уравнение:
\(9x-11y+0z=171\) (т.к. ученик набрал \(171\) балл).
\(-11y=171-9x.\)
Т.к. правая часть уравнения \(171-9x\) делится на \(9\), то и левая часть \(-11y\) должна делиться на \(9\). Предположим, что \(y=9\):
\(-11 \cdot 9=171-5x\);
\(x=30\).
Подставим \(x\) в первое уравнение:
\(30+9+z=40\);
\(z=1\).
Получается, что ученик дал \(30\) верных ответов.
Ответ: \(30\).
Источник: ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 14 вариантов заданий. (вариант №14) (Купить книгу)