Список заданий викторины состоял из \(33\) вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал \(7\) очков, за неправильный ответ с него списывали \(11\) очков, а при отсутствие ответа давали \(0\) очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший \(84\) очка, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?
Решение
Пусть \(x\) – количество правильных ответов, \(y\) – количество неправильных ответов (причем \(y≥1\) , т.к. известно, что ученик хотя бы один раз ошибся) и \(z\) – количество заданий без ответа. Тогда можно составить первое уравнение:
\(x+y+z=33\) .
Т.к. за каждый правильный ответ ученик получал \(7\) очков, за неправильный списывали \(11\) очков, а если не отвечал, то давали \(0\) очков. То можно составить уравнение:
\(7x-11y+0z=84\) (т.к. ученик набрал \(84\) баллов).
\(-11y=84-7x\) .
Т.к. правая часть уравнения \(84-7x\) делится на \(7\), то и левая часть \(-11y\) должна делиться на \(7\). Предположим, что \(y=7\), тогда получим:
\(-11⋅7=84-7x\) ;
\(x=23\) .
Подставим \(x\) в первое уравнение:
\(23+7+z=33\) ;
\(z=3\) .
Предположим, что \(y=14\), тогда получим:
\(-11⋅14=84-7x\) ;
\(x=34\) – противоречит, т.к. всего \(33\) вопроса. Значит, дальше считать нет смысла. Получается, что ученик дал \(23\) верных ответов.
Ответ: \(23\) .
Источник: ЕГЭ 2021. Математика. Базовый уровень. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий. (вариант №50) (Купить книгу)