Про натуральные числа A, B и C известно, что каждое из них больше 5, но меньше 9. Загадали натуральное число, затем его умножили на A, потом прибавили к полученному произведению B и вычли C. Получилось 164. Какое число было загадано?
Решение
Числа A, B и C могут быть 6, 7 или 8 (т.к. каждое из этих чисел больше 5, но меньше 9).
Пусть, было загадано некоторое натуральное число x, тогда получаем x⋅A+B-C=164, откуда x⋅A=164+C-B.
Рассмотрим несколько случаев:
1) C-B=0. Т.е. 6-6=0 или 7-7=0, или 8-8=0, получается x⋅A=164. Отсюда, \displaystyle x=\frac{164}{A}, по условию мы знаем, что число A может быть только 6, 7 или 8, но ни на одно из этих натуральных чисел число 164 не делится, значит, данный случай не подходит.
Рассмотрим и другие варианты:
2) C-B=1. Т.е. 7-6=1 или 8-7=1, получается x⋅A=164+1=165. Отсюда, \displaystyle x=\frac{166}{A}, по условию мы знаем, что число A может быть только 6, 7 или 8, но ни на одно из этих натуральных чисел число 165 не делится, значит, данный случай не подходит.
3) C-B=-1. Т.е. 6-7=-1 или 7-8=-1, получается x⋅A=164-1=163. Отсюда, \displaystyle x=\frac{163}{A}, по условию мы знаем, что число A может быть только 6, 7 или 8, но ни на одно из этих натуральных чисел число 163 не делится, значит, данный случай не подходит.
4) C-B=2. Т.е. 8-6=2, получается x⋅A=164+2=166. Отсюда, \displaystyle x=\frac{166}{A}, по условию мы знаем, что число A может быть только 6, 7 или 8, но ни на одно из этих натуральных чисел число 166 не делится, значит, данный случай не подходит.
5) C-B=-2. Т.е. 6-8=-2, получается x⋅A=164-2=162. Отсюда, \displaystyle x=\frac{162}{A}, по условию мы знаем, что число A может быть только 6, 7 или 8. На число 162 делится 6, значит x = 27.
Таким образом получили, что было загадано натуральное число 27.
Ответ: 27.
Источник: ЕГЭ 2021. Математика. Базовый уровень. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий. (вариант №48) (Купить книгу)