Пример №26 из задания 12

Сумма двух углов ромба равна 240°, а его меньшая диагональ равна 12. Найдите периметр ромба.

Решение

Т.к. сумма двух углов равна \(240^{\circ}\), то каждый угол равен \(240\div 2=120^{\circ}\), т.к. у ромба противоположные углы равны.

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABO\) (диагонали ромба пересекаются под прямым углом).

Диагонали ромба делят угол пополам, значит, угол \(ABO\) будет равен \(120\div 2=60^{\circ}\). Катет \(BO\) равен \(12 \div 2=6\).

Теперь можно найти сторону \(AB\): мы знаем, что косинус – отношение прилежащего катета к гипотенузе, т.е. в нашем случае \(\displaystyle cosABO=\frac{BO}{AB}\).

Подставим известные значения и найдем гипотенузу \(AB\):

\(\displaystyle cos60^{\circ}=\frac{6}{AB};\)

\(\displaystyle 0,5=\frac{6}{AB};\)

\(AB=12\).

Получилось, что сторона ромба равна \(12\). А у ромба все стороны равны, значит, его периметр составляет \(12+12+12+12=48\).

Ответ: \(48\).

Источник: ЕГЭ 2023 Математика. Базовый уровень. Типовые экзаменационные варианты. 30 вариантов (вариант 27) (Купить книгу)