Пример №7 из задания 12

В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90^{\circ}\), \(AB = 3\sqrt{5}\), \(\displaystyle sinA=\frac{2}{\sqrt{5}}. Найдите площадь треугольника.


Решение

Синус – отношение противолежащего катета к гипотенузе, т.е. \(\displaystyle sinA=\frac{BC}{AB}\). Подставим известные значения и найдем катет \(BC\):

\(\displaystyle \frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{BC}{3\sqrt{5}};\)

\(BC=6\).

Косинус – отношение прилежащего катета к гипотенуз, т.е. \(\displaystyle cosA=\frac{AC}{AB}\). Найдем \(cosA\), для этого воспользуемся основным тригонометрическим тождеством \(sin^2x+cos^2x=1\):

\(\displaystyle \frac{4}{5}+cos^2A=1;\)

\(\displaystyle cosA=\frac{1}{\sqrt{5}}\).

Подставим известные значения и найдем катет \(AC\):

\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{AC}{3\sqrt{5}};\)

\(AC=3\).

Площадь прямоугольного треугольника находится по формул \(\displaystyle S=\frac{a\cdot b}{2}\), где \(a\) и \(b\) – катеты треугольника. Подставим известные значения в формул и найдем площадь треугольника:

\(S=(3\cdot 6)\div2=9\).

Ответ: \(9\).


Источник: ЕГЭ 2023 Математика. Базовый уровень. Типовые экзаменационные варианты. 30 вариантов (вариант 8) (Купить книгу)