Список заданий викторины состоял из \(25\) вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал \(5\) очков, за неправильный ответ с него списывали \(8\) очков, а при отсутствие ответа давали \(0\) очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший \(50\) очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?
Решение
Пусть \(x\) – количество правильных ответов, \(y\) – количество неправильных ответов (причем \(y≥1\) , т.к. известно, что ученик хотя бы один раз ошибся) и \(z\) – количество заданий без ответа. Тогда можно составить первое уравнение:
\(x+y+z=25\) .
Т.к. за каждый правильный ответ ученик получал \(5\) очков, за неправильный списывали \(8\) очков, а если не отвечал, то давали \(0\) очков. То можно составить уравнение:
\(5x-8y+0z=50\) (т.к. ученик набрал \(50\) баллов).
\(-8y=50-5x\) .
Т.к. правая часть уравнения \(50-5x\) делится на \(5\), то и левая часть \(-8y\) должна делиться на \(5\). Предположим, что \(y=5\), тогда получим:
\(-8⋅5=50-5x\) ;
\(x=18\) .
Подставим \(x\) в первое уравнение:
\(18+5+z=50\) ;
\(z=27\) .
Предположим, что \(y=10\), тогда получим:
\(-8⋅10=50-5x\) ;
\(x=26\) – противоречит, т.к. всего \(25\) вопросов. Значит, дальше считать нет смысла. Получается, что ученик дал \(18\) верных ответов.
Ответ: \(18\) .
Источник: ЕГЭ 2021. Математика. Базовый уровень. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий. (вариант №35) (Купить книгу)