Пример №51 из задания 20

Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок, делая первый прыжок из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, совершив ровно \(8\) прыжков?


Решение

Рассмотрим несколько вариантов, при которых кузнечик сможет сделать прыжки влево и вправо за весь путь:

\(1\) вариант – \(8\) прыжков вправо – кузнечик будет в точке \(8\).

\(2\) вариант – \(7\) прыжков вправо и \(1\) влево – кузнечик будет в точке \(6\).

\(3\) вариант – \(6\) прыжков вправо и \(2\) влево – кузнечик будет в точке \(4\).

\(4\) вариант – \(5\) прыжков вправо и \(3\) влево – кузнечик будет в точке \(2\).

Уже видно, что в итоге кузнечик всегда оказывается в точках с четными координатами (из-за того что он делает четное количество прыжков. Если бы кузнечик делал нечетное количество прыжков, то он бы оказывался в точках с нечетными координатами). Т.к. кузнечик делает ровно \(8\) прыжков, то он может оказаться в точках, модуль которых не превышает \(8\). Получается, что кузнечик может оказаться в следующих точках: \(-8, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8\). Всего получилось \(9\) точек.

Ответ: \(9\).


Источник: ЕГЭ 2021. Математика. Базовый уровень. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий. (вариант №30) (Купить книгу)