Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок, делая первый прыжок из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, совершив ровно \(6\) прыжков?
Решение
Рассмотрим несколько вариантов, при которых кузнечик сможет сделать прыжки влево и вправо за весь путь:
\(1\) вариант – \(6\) прыжков вправо – кузнечик будет в точке \(6\).
\(2\) вариант – \(5\) прыжков вправо и \(1\) влево – кузнечик будет в точке \(4\).
\(3\) вариант – \(4\) прыжка вправо и \(2\) влево – кузнечик будет в точке \(2\).
\(4\) вариант – \(3\) прыжка вправо и \(3\) влево – кузнечик будет в точке \(0\).
Уже видно, что в итоге кузнечик всегда оказывается в точках с четными координатами (из-за того что он делает четное количество прыжков. Если бы кузнечик делал нечетное количество прыжков, то он бы оказывался в точках с нечетными координатами). Т.к. кузнечик делает ровно \(6\) прыжков, то он может оказаться в точках, модуль которых не превышает \(6\). Получается, что кузнечик может оказаться в следующих точках: \(-6, -4, -2, 0, 2, 4, 6\). Всего получилось \(7\) точек.
Ответ: \(7\).
Источник: ЕГЭ 2021. Математика. Базовый уровень. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий. (вариант №29) (Купить книгу)