Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок, делая первый прыжок из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, совершив ровно \(4\) прыжка?

---

Решение

Рассмотрим несколько вариантов, при которых кузнечик сможет сделать прыжки влево и вправо за весь путь:

\(1\) вариант — \(4\) прыжка вправо — кузнечик будет в точке \(4\).

\(2\) вариант — \(3\) прыжка вправо и \(1\) влево — кузнечик будет в точке \(2\).

\(3\) вариант — \(2\) прыжка вправо и \(2\) влево — кузнечик будет в точке \(0\).

\(4\) вариант — \(1\) прыжок вправо и \(3\) влево — кузнечик будет в точке \(-2\).

Уже видно, что в итоге кузнечик всегда оказывается в точках с четными координатами (из-за того что он делает четное количество прыжков. Если бы кузнечик делал нечетное количество прыжков, то он бы оказывался в точках с нечетными координатами). Т.к. кузнечик делает ровно $4$ прыжка, то он может оказаться в точках, модуль которых не превышает $4$. Получается, что кузнечик может оказаться в следующих точках: $-4, -2, 0, 2, 4$. Всего получилось $5$ точек.

Ответ: \(5\).

---

Источник: ЕГЭ 2021. Математика. Базовый уровень. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий. (вариант №26) (Купить книгу)