Пример №52 из задания 21

Список заданий викторины состоял из 36 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 5 очков, за неправильный ответ с него списывали 11 очков, а при отсутствие ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 75 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?


Решение

Пусть \(x\) — количество правильных ответов, \(y\) — количество неправильных ответов (причем \(y≥1\) , т.к. известно, что ученик хотя бы один раз ошибся) и \(z\) — количество заданий без ответа. Тогда можно составить первое уравнение:

\(x+y+z=36\) .

Т.к. за каждый правильный ответ ученик получал \(5\) очков, за неправильный списывали \(11\) очков, а если не отвечал, то давали \(0\) очков. То можно составить уравнение:

\(5x-11y+0z=75\)  (т.к. ученик набрал \(75\)  баллов).

\(-11y=75-5x\) .

Т.к. правая часть уравнения \(75-5x\) делится на \(5\), то и левая часть \(-11y\) должна делиться на \(5\). Предположим, что \(y=5\), тогда получим:

\(-11⋅5=75-5x\) ;

\(x=26\) .

Подставим \(x\) в первое уравнение:

\(26+5+z=36\) ;

\(z=5\) .

Предположим, что \(y=10\), тогда получим:

\(-11⋅10=75-5x\) ;

\(x=37\) — противоречит, т.к. всего \(36\) вопросов. Значит, дальше считать нет смысла. Получается, что ученик дал \(26\) верных ответов.

Ответ: \(26\).


Источник: ЕГЭ 2023 Математика. Базовый уровень. Типовые экзаменационные варианты. 30 вариантов (вариант 26) (Купить книгу)