Список заданий викторины состоял из 50 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 9 очков, за неправильный ответ с него списывали 13 очков, а при отсутствие ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 225 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?
Решение
Пусть \(x\) – количество правильных ответов, \(y\) – количество неправильных ответов (причем \(y≥1\) , т.к. известно, что ученик хотя бы один раз ошибся) и \(z\) – количество заданий без ответа. Тогда можно составить первое уравнение:
\(x+y+z=50\) .
Т.к. за каждый правильный ответ ученик получал \(9\) очков, за неправильный списывали \(13\) очков, а если не отвечал, то давали \(0\) очков. То можно составить уравнение:
\(9x-13y+0z=225\) (т.к. ученик набрал \(225\) баллов).
\(-13y=225-9x\) .
Т.к. правая часть уравнения \(225-9x\) делится на \(9\), то и левая часть \(-13y\) должна делиться на \(9\). Предположим, что \(y=9\), тогда получим:
\(-13⋅9=225-9x\) ;
\(x=38\) .
Подставим \(x\) в первое уравнение:
\(38+9+z=50\) ;
\(z=3\) .
Предположим, что \(y=18\), тогда получим:
\(-13⋅18=225-9x\) ;
\(x=51\) – противоречит, т.к. всего \(50\) вопросов. Значит, дальше считать нет смысла. Получается, что ученик дал \(38\) верных ответов.
Ответ: \(38\).
Источник: ЕГЭ 2023 Математика. Базовый уровень. Типовые экзаменационные варианты. 30 вариантов (вариант 25) (Купить книгу)