Пример №51 из задания 21

Список заданий викторины состоял из 50 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 9 очков, за неправильный ответ с него списывали 13 очков, а при отсутствие ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 225 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?


Решение

Пусть \(x\) — количество правильных ответов, \(y\) — количество неправильных ответов (причем \(y≥1\) , т.к. известно, что ученик хотя бы один раз ошибся) и \(z\) — количество заданий без ответа. Тогда можно составить первое уравнение:

\(x+y+z=50\) .

Т.к. за каждый правильный ответ ученик получал \(9\) очков, за неправильный списывали \(13\) очков, а если не отвечал, то давали \(0\) очков. То можно составить уравнение:

\(9x-13y+0z=225\)  (т.к. ученик набрал \(225\)  баллов).

\(-13y=225-9x\) .

Т.к. правая часть уравнения \(225-9x\) делится на \(9\), то и левая часть \(-13y\) должна делиться на \(9\). Предположим, что \(y=9\), тогда получим:

\(-13⋅9=225-9x\) ;

\(x=38\) .

Подставим \(x\) в первое уравнение:

\(38+9+z=50\) ;

\(z=3\) .

Предположим, что \(y=18\), тогда получим:

\(-13⋅18=225-9x\) ;

\(x=51\) — противоречит, т.к. всего \(50\) вопросов. Значит, дальше считать нет смысла. Получается, что ученик дал \(38\) верных ответов.

Ответ: \(38\).


Источник: ЕГЭ 2023 Математика. Базовый уровень. Типовые экзаменационные варианты. 30 вариантов (вариант 25) (Купить книгу)