Найдите значение выражения \(\cos\alpha\), если \(\displaystyle tg\alpha=-\frac{\sqrt{21}}{2}\) и \(\displaystyle \alpha \in \left(\frac{3\pi}{2}; 2\pi \right) \).

---

Решение

Воспользуемся следующей формулой \( \displaystyle tg^2 x+1=\frac{1}{cos^2 x}\).

\( \displaystyle (-\frac{\sqrt{21}}{2})^2+1=\frac{1}{cos^2 \alpha}\);

\( \displaystyle (\frac{21}{4})+1=\frac{1}{cos^2 \alpha}\);

\( \displaystyle \frac{25}{4}=\frac{1}{cos^2 \alpha}\);

\( \displaystyle cos^2 \alpha=\frac{4}{25}\);

\(\displaystyle cos\alpha=\pm\frac{2}{5}\).

В промежуток \(\displaystyle (\frac{3\pi}{2}; 2\pi)\) входит только корень \(0,4\).

Ответ: \(0,4\).

---

Источник: ЕГЭ 2023 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 25) (Купить книгу)