Найдите корень уравнения \(log_4 (7+6x)=log_4 (1+x)+2\).

---

Решение

ОДЗ: \(7+6x>0\) и \(1+x>0\). Отсюда \(x \in (-1;\infty)\).

Применим свойство логарифмов \(a\log_b c=\log_b c^a\):

\(\log_4 (7+6x)=\log_4 (1+x)+2\cdot1;\)

\(\log_4 (7+6x)=\log_4 (1+x)+2\log_4 4;\)

\(\log_4 (7+6x)=\log_4 (1+x)+2\log_4 4;\)

\(\log_4 (7+6x)=\log_4 (1+x)+\log_4 4^2;\)

\(\log_4 (7+6x)=\log_4 (1+x)+\log_4 16;\)

Применим свойство логарифма \(\log_a b+\log_a c=\log_a bc\):

\(\log_4 (7+6x)=\log_4 (16+16x);\)

\(7+6x=16+16x;\)

\(x=-0,9\) – данный корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: \(-0,9\).

---

Источник: ЕГЭ 2023 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 2) (Купить книгу)