Про натуральные числа \(A\), \(B\) и \(C\) известно, что каждое из них больше \(4\), но меньше \(8\). Загадали натуральное число, затем его умножили на \(A\), потом прибавили к полученному произведению \(B\) и вычли \(C\). Получилось \(165\). Какое число было загадано?

---

Решение

Числа \(A\), \(B\) и \(C\) могут быть \(5\), \(6\) или \(7\) (т.к. каждое из этих чисел больше \(4\), но меньше \(8\)).

Пусть, было загадано некоторое натуральное число \(x\), тогда получаем \(x⋅A+B-C=165\), откуда \(x⋅A=165+C-B\).

Рассмотрим несколько случаев:

1) \(C-B=0\). Т.е. \(5-5=0\) или \(6-6=0\), или \(7-7=0\), получается \(x⋅A=165\). Отсюда, \(x=\frac{165}{A}\), по условию мы знаем, что число \(A\) может быть только \(5\), \(6\) или \(7\). Число \(165\) делится на \(5\), значит \(x=33\).

Рассмотрим и другие варианты:

2) \(C-B=1\). Т.е. \(6-5=1\) или \(7-6=1\), получается \(x⋅A=165+1=166\). Отсюда, \(x=\frac{166}{A}\), по условию мы знаем, что число \(A\) может быть только \(5\), \(6\) или \(7\), но ни на одно из этих натуральных чисел число \(166\) не делится, значит, данный случай не подходит.

3) \(C-B=-1\). Т.е. \(6-7=-1\) или \(5-6=-1\), получается \(x⋅A=165-1=164\). Отсюда, \(x=\frac{164}{A}\), по условию мы знаем, что число \(A\) может быть только \(5\), \(6\) или \(7\), но ни на одно из этих натуральных чисел число \(164\) не делится, значит, данный случай не подходит.

4) \(C-B=2\). Т.е. \(7-5=2\), получается \(x⋅A=165+2=167\). Отсюда, \(x=\frac{167}{A}\), по условию мы знаем, что число \(A\) может быть только \(5\), \(6\) или \(7\), но ни на одно из этих натуральных чисел число \(167\) не делится, значит, данный случай не подходит.

5) \(C-B=-2\). Т.е. \(5-7=-2\), получается \(x⋅A=165-2=163\). Отсюда, \(x=\frac{163}{A}\), по условию мы знаем, что число \(A\) может быть только \(5\), \(6\) или \(7\), но ни на одно из этих натуральных чисел число \(163\) не делится, значит, данный случай не подходит.

Таким образом получили, что было загадано натуральное число \(33\), которое мы нашли уже в первом случае.

Ответ: \(33\).

---

Источник: ЕГЭ-2018. Математика. Базовый уровень. 14 вариантов. Типовые экзаменационные варианты. (вариант №1)