Пример №36 из задания 11

Найдите точку минимума функции \( \displaystyle y=-\frac{x}{x^2+900}\).


Решение

Для нахождения производной применим следующее правило дифференцирования \( \displaystyle \frac{u}{v}=\frac{u’v-uv’}{v^2}: \)

\( \displaystyle y’=-\frac{x^2+900-x\cdot 2x}{(x^2+900)^2}=\frac{x^2-900}{(x^2+900)^2} \).

Найдем точки экстремума функции, для этого приравняем производную функции к нулю:

\( \displaystyle \frac{x^2-900}{(x^2+900)^2}=0.\)

Знаменатель строго больше нуля. Соответственно, чтобы уравнение равнялось нулю, необходимо, чтобы числитель был равен нулю:

\(x^2-900=0;\)

\(x=\pm30.\)

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Точка минимума — точка, где производная меняет свой знак с минуса на плюс. В нашем случае точка минимума \(30\).

Ответ: \(30\).


Источник: ЕГЭ 2023 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 36) (Купить книгу)