Найдите точку минимума функции \displaystyle y=-\frac{x}{x^2+900}.
Решение
Для нахождения производной применим следующее правило дифференцирования \displaystyle \frac{u}{v}=\frac{u'v-uv'}{v^2}:
\displaystyle y'=-\frac{x^2+900-x\cdot 2x}{(x^2+900)^2}=\frac{x^2-900}{(x^2+900)^2} .Найдем точки экстремума функции, для этого приравняем производную функции к нулю:
\displaystyle \frac{x^2-900}{(x^2+900)^2}=0.Знаменатель строго больше нуля. Соответственно, чтобы уравнение равнялось нулю, необходимо, чтобы числитель был равен нулю:
x^2-900=0; x=\pm30.Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Точка минимума – точка, где производная меняет свой знак с минуса на плюс. В нашем случае точка минимума 30.
Ответ: 30.
Источник: ЕГЭ 2023 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 36) (Купить книгу)