Пример №34 из задания 11

Найдите наименьшее значение функции \( y=(1-x)e^{2-x} \) на отрезке \( [0,5; 5] \).


Решение

Наименьшее значение функция принимает в одной из точек экстремума. Чтобы найти их, найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

Для нахождения производной, воспользуемся следующими правилами дифференцирования \((e^x)’=e^x x’\) и \((uv)’=u’v+uv’\):

\(\displaystyle y’=(1-x)’\cdot e^{2-x}+(1-x) \cdot(e^{2-x})’=\) \(\displaystyle -e^{2-x}-(1-x) \cdot e^{2-x}.\)

Приравняем производную к нулю:

\(-e^{2-x}-(1-x) \cdot e^{2-x}=0;\)

\(-e^{2-x}(2-x)=0’\)

\(-e^{2-x}\) — всегда больше нуля.

\(2-x=0;\)

\(x=2.\)

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции на отрезке \([0,5; 5]\):

Получилось, что наименьшее значение функции в точке \(2\). Найдем значение функции в данной точке:

\(\displaystyle y(2)=(1-2)e^{2-2}=-1.\)

Ответ: \(-1\).


Источник: ЕГЭ 2023 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 34) (Купить книгу)