Найдите наименьшее значение функции y=(1-x)e^{2-x} на отрезке [0,5; 5] .
Решение
Наименьшее значение функция принимает в одной из точек экстремума. Чтобы найти их, найдем производную функции и приравняем ее к нулю.
Для нахождения производной, воспользуемся следующими правилами дифференцирования (e^x)'=e^x x' и (uv)'=u'v+uv':
\displaystyle y'=(1-x)'\cdot e^{2-x}+(1-x) \cdot(e^{2-x})'= \displaystyle -e^{2-x}-(1-x) \cdot e^{2-x}.Приравняем производную к нулю:
-e^{2-x}-(1-x) \cdot e^{2-x}=0; -e^{2-x}(2-x)=0' -e^{2-x} – всегда больше нуля. 2-x=0; x=2.Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции на отрезке [0,5; 5]:
Получилось, что наименьшее значение функции в точке 2. Найдем значение функции в данной точке:
\displaystyle y(2)=(1-2)e^{2-2}=-1.Ответ: -1.
Источник: ЕГЭ 2023 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 34) (Купить книгу)