Найдите наименьшее значение функции \( y=(1-x)e^{2-x} \) на отрезке \( [0,5; 5] \).
Решение
Наименьшее значение функция принимает в одной из точек экстремума. Чтобы найти их, найдем производную функции и приравняем ее к нулю.
Для нахождения производной, воспользуемся следующими правилами дифференцирования \((e^x)’=e^x x’\) и \((uv)’=u’v+uv’\):
\(\displaystyle y’=(1-x)’\cdot e^{2-x}+(1-x) \cdot(e^{2-x})’=\) \(\displaystyle -e^{2-x}-(1-x) \cdot e^{2-x}.\)
Приравняем производную к нулю:
\(-e^{2-x}-(1-x) \cdot e^{2-x}=0;\)
\(-e^{2-x}(2-x)=0’\)
\(-e^{2-x}\) – всегда больше нуля.
\(2-x=0;\)
\(x=2.\)
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции на отрезке \([0,5; 5]\):
Получилось, что наименьшее значение функции в точке \(2\). Найдем значение функции в данной точке:
\(\displaystyle y(2)=(1-2)e^{2-2}=-1.\)
Ответ: \(-1\).
Источник: ЕГЭ 2023 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 34) (Купить книгу)