Найдите наибольшее значение функции y=(x^2+22x-22)e^{2-x}

Найдите наибольшее значение функции $y=(x^2+22x-22)e^{2-x}$ на отрезке $[0; 5]$ .

Решение

Наибольшее значение функция принимает в одной из точек экстремума. Чтобы найти их, найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

Для нахождения производной, воспользуемся следующими правилами дифференцирования $(e^x)'=e^x x'$ и $(uv)'=u'v+uv'$ :

\displaystyle y'=(x^2+22x-22)'\cdot e^{2-x}+(x^2+22x-22) \cdot(e^{2-x})'=

\displaystyle (2x+22)e^{2-x}-(x^2+22x-22) \cdot e^{2-x}.

Приравняем производную к нулю:

\displaystyle (2x+22)e^{2-x}-(x^2+22x-22) \cdot e^{2-x}=0;

e^{2-x}((2x+22)-(x^2+22x-22)=0;

e^{2-x}(-x^2-20x+44)=0.

e^{2-x}

– всегда больше нуля.

-x^2-20x+44=0

D=b^2-4ac=400-4\cdot -1 \cdot 44=576

\displaystyle x_1=\frac{20+24}{-2}=-22

– не принадлежит заданному отрезку.

\displaystyle x_2=\frac{20-24}{-2}=2

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции на отрезке $[0; 5]$ :

Получилось, что наибольшее значение функции в точке $2$ . Найдем значение функции в данной точке:

\displaystyle y(2)=(2^2+22\cdot 2-22)e^{2-2}=-26.

Ответ: $-26$ .

Источник: ЕГЭ 2023 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 33) (Купить книгу)