Пример №33 из задания 11

Найдите наибольшее значение функции \( y=(x^2+22x-22)e^{2-x} \) на отрезке \( [0; 5] \).


Решение

Наибольшее значение функция принимает в одной из точек экстремума. Чтобы найти их, найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

Для нахождения производной, воспользуемся следующими правилами дифференцирования \((e^x)’=e^x x’\) и \((uv)’=u’v+uv’\):

\(\displaystyle y’=(x^2+22x-22)’\cdot e^{2-x}+(x^2+22x-22) \cdot(e^{2-x})’=\) \(\displaystyle (2x+22)e^{2-x}-(x^2+22x-22) \cdot e^{2-x}.\)

Приравняем производную к нулю:

\(\displaystyle (2x+22)e^{2-x}-(x^2+22x-22) \cdot e^{2-x}=0;\)

\( e^{2-x}((2x+22)-(x^2+22x-22)=0;\)

\( e^{2-x}(-x^2-20x+44)=0.\)

\(e^{2-x}\) — всегда больше нуля.

\(-x^2-20x+44=0\)

\(D=b^2-4ac=400-4\cdot -1 \cdot 44=576\)

\(\displaystyle x_1=\frac{20+24}{-2}=-22\) — не принадлежит заданному отрезку.

\(\displaystyle x_2=\frac{20-24}{-2}=2\)

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции на отрезке \([0; 5]\):

Получилось, что наибольшее значение функции в точке \(2\). Найдем значение функции в данной точке:

\(\displaystyle y(2)=(2^2+22\cdot 2-22)e^{2-2}=-26.\)

Ответ: \(-26\).


Источник: ЕГЭ 2023 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 33) (Купить книгу)