Пример №32 из задания 11

Найдите точку максимума функции \( y=x^3+18x^2+81x+23 \).

Решение

Найдем производную функции:

\(\displaystyle y’=3x^2+36x+81.\)

Найдем точки экстремума функции, для этого приравняем производную функции к нулю:

\(3x^2+36x+81=0;\)

\(D=b^2-4ac=1296-4\cdot3\cdot81=324\)

\( \displaystyle x_1=\frac{-36-18}{6}=-9;\)

\( \displaystyle x_2=\frac{-36+18}{6}=-3.\)

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Точка максимума – точка, где производная меняет свой знак с плюса на минус. В нашем случае точка максимума \(-9\).

Ответ: \(-9\).

Источник: ЕГЭ 2023 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 32) (Купить книгу)