Пример №30 из задания 11

Найдите точку минимума функции \( y=(x+8)^2 \cdot e^{-x-3} \).


Решение

Найдем производную функции, для этого применим следующие правила дифференцирования \( (uv)’=u’v+uv’\) и \((e^u)’=e^u u’\):

\( \displaystyle y’=((x+8)^2)’ \cdot e^{-x-3}+(x+8)^2 \cdot (e^{-x-3})=’\)\( \displaystyle 2(x+8) \cdot e^{-x-3}+(x+8)^2 \cdot (-e^{-x-3})=’\)\( \displaystyle e^{-x-3}(2x+16-(x^2+16x+64))=\)\( \displaystyle e^{-x-3}(-x^2-14x-48))\).

Найдем точки экстремума функции, для этого приравняем производную функции к нулю:

\( \displaystyle e^{-x-3}(-x^2-14x-48))=0;\)

\(e^{x-3}=0\) или \(-x^2-14x-48=0\)

\(e^{x-3}=0\) — всегда больше нуля.

\(-x^2-14x-48=0;\)

\(D=b^2-4ac=196-4\cdot-1\cdot-48=4;\)

\(\displaystyle x_1=\frac{14-2}{-2}=-6;\)

\(\displaystyle x_1=\frac{14+2}{-2}=-8.\)

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Точка минимума — точка, где производная меняет свой знак с минуса на плюс. В нашем случае точка минимума \(8\).

Ответ: \(-8\).


Источник: ЕГЭ 2023 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 30) (Купить книгу)