Пример №28 из задания 11

Найдите наибольшее значение функции \( y=7ln(x+5)-7x+10 \) на отрезке \( [-4,5; 0] \).

Решение

Наибольшее значение функция принимает в одной из точек экстремума. Чтобы найти их, найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

Найдем производную функции, для этого воспользуемся правилом дифференцирования \((lnx)’=\frac{1}{x}x’\):

\(\displaystyle y’=\frac{7}{x+5}-7.\)

\(\displaystyle \frac{7}{x+5}-7=0;\)

\(\displaystyle\frac{7}{x+5}=7;\)

\(7=7x+35;\)

\(x=-4.\)

ОДЗ: \(x\neq-5\).

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции на отрезке \([-4,5; 0]\):

Получилось, что наибольшее значение функции в точке \(-4\). Найдем значение функции в данной точке:

\(\displaystyle y(-4)=7ln(-4+5)-7\cdot-4+10=38.\)

Ответ: \(38\).

Источник: ЕГЭ 2023 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 28) (Купить книгу)