Найдите наибольшее значение функции y=(x-6)e^{7-x} на отрезке [2; 15] .
Решение
Наибольшее значение функция принимает в одной из точек экстремума. Чтобы найти их, найдем производную функции и приравняем ее к нулю.
Для нахождения производной, воспользуемся следующими правилами дифференцирования (e^x)'=e^x x' и (uv)'=u'v+uv':
\displaystyle y'=(x-6)'\cdot e^{7-x}+(x-6) \cdot(e^{7-x})'= \displaystyle e^{7-x}-(x-6) \cdot e^{7-x}.Приравняем производную к нулю:
\displaystyle e^{7-x}-(x-6) \cdot e^{7-x}=0; e^{7-x}(1-x+6)=0; e^{7-x}(-x+7)=0. e^{7-x} – всегда больше нуля. x=7.Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции на отрезке [2; 15]:
Получилось, что наибольшее значение функции в точке 7. Найдем значение функции в данной точке:
\displaystyle y(7)=(7-6)e^{7-7}=1.Ответ: 1.
Источник: ЕГЭ 2023 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 26) (Купить книгу)