Найдите наибольшее значение функции y=(x-6)e^{7-x}

Найдите наибольшее значение функции \( y=(x-6)e^{7-x} \) на отрезке \( [2; 15] \).

Решение

Наибольшее значение функция принимает в одной из точек экстремума. Чтобы найти их, найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

Для нахождения производной, воспользуемся следующими правилами дифференцирования \((e^x)’=e^x x’\) и \((uv)’=u’v+uv’\):

\(\displaystyle y’=(x-6)’\cdot e^{7-x}+(x-6) \cdot(e^{7-x})’=\) \(\displaystyle e^{7-x}-(x-6) \cdot e^{7-x}.\)

Приравняем производную к нулю:

\(\displaystyle e^{7-x}-(x-6) \cdot e^{7-x}=0;\)

\( e^{7-x}(1-x+6)=0;\)

\( e^{7-x}(-x+7)=0.\)

\(e^{7-x}\) – всегда больше нуля.

\(x=7.\)

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции на отрезке \([2; 15]\):

Получилось, что наибольшее значение функции в точке \(7\). Найдем значение функции в данной точке:

\(\displaystyle y(7)=(7-6)e^{7-7}=1.\)

Ответ: \(1\).

Источник: ЕГЭ 2023 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 26) (Купить книгу)