Найдите точку минимума функции y=(x+4)^2 (x+1)+9.
Решение
Для нахождения производной применим следующее правило дифференцирования (uv)'=u'v+uv':
y'=((x+4)^2)'(x+1)+(x+4)^2(x+1)'= (2x+8)(x+1)+(x^2+8x+16)= 2x^2+10x+8)+(x^2+8x+16)= 3x^2+18x+24.Найдем точки экстремума функции, для этого приравняем производную функции к нулю:
3x^2+18x+24=0; D=b^2-4ac=324-4\cdot3\cdot24=36 \displaystyle x_1=\frac{-18+6}{6}=-2; \displaystyle x_1=\frac{-18-6}{6}=-4.Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Точка минимума – точка, где производная меняет свой знак с минуса на плюс. В нашем случае точка минимума -2.
Ответ: -2.
Источник: ЕГЭ 2023 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 24) (Купить книгу)