Найдите точку минимума функции \( y=(x+4)^2 (x+1)+9\).
Решение
Для нахождения производной применим следующее правило дифференцирования \((uv)’=u’v+uv’\):
\(y’=((x+4)^2)'(x+1)+(x+4)^2(x+1)’=\) \((2x+8)(x+1)+(x^2+8x+16)=\) \(2x^2+10x+8)+(x^2+8x+16)=\) \(3x^2+18x+24\).
Найдем точки экстремума функции, для этого приравняем производную функции к нулю:
\( 3x^2+18x+24=0;\)
\(D=b^2-4ac=324-4\cdot3\cdot24=36\)
\( \displaystyle x_1=\frac{-18+6}{6}=-2;\)
\( \displaystyle x_1=\frac{-18-6}{6}=-4.\)
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Точка минимума – точка, где производная меняет свой знак с минуса на плюс. В нашем случае точка минимума \(-2\).
Ответ: \(-2\).
Источник: ЕГЭ 2023 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 24) (Купить книгу)