Найдите точку минимума функции \( y=(x+4)^2 (x+1)+9\).

---

Решение

Для нахождения производной применим следующее правило дифференцирования \((uv)’=u’v+uv’\):

\(y’=((x+4)^2)'(x+1)+(x+4)^2(x+1)’=\) \((2x+8)(x+1)+(x^2+8x+16)=\) \(2x^2+10x+8)+(x^2+8x+16)=\) \(3x^2+18x+24\).

Найдем точки экстремума функции, для этого приравняем производную функции к нулю:

\( 3x^2+18x+24=0;\)

\(D=b^2-4ac=324-4\cdot3\cdot24=36\)

\( \displaystyle x_1=\frac{-18+6}{6}=-2;\)

\( \displaystyle x_1=\frac{-18-6}{6}=-4.\)

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Точка минимума – точка, где производная меняет свой знак с минуса на плюс. В нашем случае точка минимума \(-2\).

Ответ: \(-2\).

---

Источник: ЕГЭ 2023 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 24) (Купить книгу)