Найдите наименьшее значение функции y=(x+4)^2 e^{-4-x} на отрезке [-5; -3] .
Решение
Наименьшее значение функция принимает в одной из точек экстремума. Чтобы найти их, найдем производную функции и приравняем ее к нулю.
Для нахождения производной, воспользуемся следующими правилами дифференцирования (e^x)'=e^x x' и (uv)'=u'v+uv':
\displaystyle y'=((x+4)^2)'\cdot e^{-4-x}+(x+4)^2 \cdot(e^{-4-x})'= \displaystyle 2(x+4)^2\cdot e^{-4-x}-(x+4)^2 \cdot e^{-4-x}.Приравняем производную к нулю:
(\displaystyle 2(x+4)^2\cdot e^{-4-x}-(x+4)^2 \cdot e^{-4-x}=0;)
e^{x-4}(x+4)(-x-2)=0; e^{x-4} – всегда больше нуля. x+4=0; x=-4. -x-2=0; x=-2. – не входит в заданный отрезок.Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции на отрезке [-5; -3]:
Получилось, что наименьшее значение функции в точке -4. Найдем значение функции в данной точке:
\displaystyle y(-4)=(-4+4)^2 e^{-4+4}=0.Ответ: 0.
Источник: ЕГЭ 2023 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 20) (Купить книгу)