Пример №20 из задания 11

Найдите наименьшее значение функции \( y=(x+4)^2 e^{-4-x}\) на отрезке \( [-5; -3] \).


Решение

Наименьшее значение функция принимает в одной из точек экстремума. Чтобы найти их, найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

Для нахождения производной, воспользуемся следующими правилами дифференцирования \((e^x)’=e^x x’\) и \((uv)’=u’v+uv’\):

\(\displaystyle y’=((x+4)^2)’\cdot e^{-4-x}+(x+4)^2 \cdot(e^{-4-x})’=\) \(\displaystyle 2(x+4)^2\cdot e^{-4-x}-(x+4)^2 \cdot e^{-4-x}.\)

Приравняем производную к нулю:

(\displaystyle 2(x+4)^2\cdot e^{-4-x}-(x+4)^2 \cdot e^{-4-x}=0;)

\( e^{x-4}(x+4)(-x-2)=0;\)

\(e^{x-4}\) — всегда больше нуля.

\(x+4=0;\)

\(x=-4.\)

\(-x-2=0;\)

\(x=-2.\) — не входит в заданный отрезок.

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции на отрезке \([-5; -3]\):

Получилось, что наименьшее значение функции в точке \(-4\). Найдем значение функции в данной точке:

\(\displaystyle y(-4)=(-4+4)^2 e^{-4+4}=0.\)

Ответ: \(0\).


Источник: ЕГЭ 2023 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 20) (Купить книгу)