Найдите наименьшее значение функции \( y=(x+4)^2 e^{-4-x}\) на отрезке \( [-5; -3] \).
Решение
Наименьшее значение функция принимает в одной из точек экстремума. Чтобы найти их, найдем производную функции и приравняем ее к нулю.
Для нахождения производной, воспользуемся следующими правилами дифференцирования \((e^x)’=e^x x’\) и \((uv)’=u’v+uv’\):
\(\displaystyle y’=((x+4)^2)’\cdot e^{-4-x}+(x+4)^2 \cdot(e^{-4-x})’=\) \(\displaystyle 2(x+4)^2\cdot e^{-4-x}-(x+4)^2 \cdot e^{-4-x}.\)
Приравняем производную к нулю:
(\displaystyle 2(x+4)^2\cdot e^{-4-x}-(x+4)^2 \cdot e^{-4-x}=0;)
\( e^{x-4}(x+4)(-x-2)=0;\)
\(e^{x-4}\) – всегда больше нуля.
\(x+4=0;\)
\(x=-4.\)
\(-x-2=0;\)
\(x=-2.\) – не входит в заданный отрезок.
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции на отрезке \([-5; -3]\):
Получилось, что наименьшее значение функции в точке \(-4\). Найдем значение функции в данной точке:
\(\displaystyle y(-4)=(-4+4)^2 e^{-4+4}=0.\)
Ответ: \(0\).
Источник: ЕГЭ 2023 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 20) (Купить книгу)