Найдите точку максимума функции \( y=(x+35)e^{35-x}\).
Решение
Найдем производную функции, для этого применим следующие правила дифференцирования \( (uv)’=u’v+uv’\) и \((e^u)’=e^u u’\):
\( \displaystyle y’=((x+35))’ \cdot e^{35-x}+(x+35) \cdot (e^{35-x})=’\) \(e^{35-x}-(x+35)e^{35-x}=\) \(e^{35-x}(-x-34)\).
Найдем точки экстремума функции, для этого приравняем производную функции к нулю:
\( e^{35-x}(-x-34))=0;\)
\(e^{35-x}=0\) или \(x-34=0\)
\(e^{35-x}=0\) – всегда больше нуля.
\(-x-34=0;\)
\(x=-34.\)
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Точка максимума – точка, где производная меняет свой знак с плюса на минус. В нашем случае точка максимума \(-34\).
Ответ: \(-34\).
Источник: ЕГЭ 2023 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 19) (Купить книгу)