Пример №19 из задания 11

Найдите точку максимума функции \( y=(x+35)e^{35-x}\).


Решение

Найдем производную функции, для этого применим следующие правила дифференцирования \( (uv)’=u’v+uv’\) и \((e^u)’=e^u u’\):

\( \displaystyle y’=((x+35))’ \cdot e^{35-x}+(x+35) \cdot (e^{35-x})=’\) \(e^{35-x}-(x+35)e^{35-x}=\) \(e^{35-x}(-x-34)\).

Найдем точки экстремума функции, для этого приравняем производную функции к нулю:

\( e^{35-x}(-x-34))=0;\)

\(e^{35-x}=0\) или \(x-34=0\)

\(e^{35-x}=0\) — всегда больше нуля.

\(-x-34=0;\)

\(x=-34.\)

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Точка максимума — точка, где производная меняет свой знак с плюса на минус. В нашем случае точка максимума \(-34\).

Ответ: \(-34\).


Источник: ЕГЭ 2023 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 19) (Купить книгу)