Найдите точку максимума функции y=(x+35)e^{35-x}.
Решение
Найдем производную функции, для этого применим следующие правила дифференцирования (uv)'=u'v+uv' и (e^u)'=e^u u':
\displaystyle y'=((x+35))' \cdot e^{35-x}+(x+35) \cdot (e^{35-x})=' e^{35-x}-(x+35)e^{35-x}= e^{35-x}(-x-34).Найдем точки экстремума функции, для этого приравняем производную функции к нулю:
e^{35-x}(-x-34))=0; e^{35-x}=0 или x-34=0 e^{35-x}=0 – всегда больше нуля. -x-34=0; x=-34.Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Точка максимума – точка, где производная меняет свой знак с плюса на минус. В нашем случае точка максимума -34.
Ответ: -34.
Источник: ЕГЭ 2023 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 19) (Купить книгу)