Пример №18 из задания 11

Найдите наибольшее значение функции \( y=2x^2-12x+8lnx-5 \) на отрезке \( \displaystyle [\frac{12}{13}; \frac{14}{13}] \).


Решение

Наибольшее значение функция принимает в одной из точек экстремума. Чтобы найти их, найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

Найдем производную функции, для этого воспользуемся правилом дифференцирования \((lnx)’=\frac{1}{x}x’\):

\(\displaystyle y’=4x-12+\frac{8}{x}.\)

\(\displaystyle 4x-12+\frac{8}{x}=0;\)

\(4x^2-12x+8=0\)

\(D=b^2-4ac=144-4\cdot4\cdot8=16\)

\(\displaystyle x_1=\frac{12+4}{8}=2;\) — не входит в заданный отрезок.

\(\displaystyle x_1=\frac{12-4}{8}=1.\)

ОДЗ: \(x\neq 0\).

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции на заданном отрезке:

Получилось, что наибольшее значение функции в точке \(1\). Найдем значение функции в данной точке:

\(\displaystyle y(1)=2-12+8ln(1)-5=-15.\)

Ответ: \(-15\).


Источник: ЕГЭ 2023 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 18) (Купить книгу)