Найдите наибольшее значение функции y=2x^2-12x+8lnx-5 на отрезке \displaystyle [\frac{12}{13}; \frac{14}{13}] .
Решение
Наибольшее значение функция принимает в одной из точек экстремума. Чтобы найти их, найдем производную функции и приравняем ее к нулю.
Найдем производную функции, для этого воспользуемся правилом дифференцирования (lnx)'=\frac{1}{x}x':
\displaystyle y'=4x-12+\frac{8}{x}. \displaystyle 4x-12+\frac{8}{x}=0; 4x^2-12x+8=0 D=b^2-4ac=144-4\cdot4\cdot8=16 \displaystyle x_1=\frac{12+4}{8}=2; – не входит в заданный отрезок. \displaystyle x_1=\frac{12-4}{8}=1.ОДЗ: x\neq 0.
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции на заданном отрезке:
Получилось, что наибольшее значение функции в точке 1. Найдем значение функции в данной точке:
\displaystyle y(1)=2-12+8ln(1)-5=-15.Ответ: -15.
Источник: ЕГЭ 2023 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 18) (Купить книгу)