Найдите наибольшее значение функции \( y=x^5+5x^3-140x \) на отрезке \( [-8; -1] \).
Решение
Наибольшее значение функция принимает в одной из точек экстремума. Чтобы найти их, найдем производную функции и приравняем ее к нулю:
\(\displaystyle y’=5x^4+15x^2-140.\)
\(\displaystyle 5x^4+15x^2-140=0;\)
Пусть \(x^2=t\):
\(5t^2+15t-140=0\)
\(D=b^2-4ac=225-4\cdot5\cdot-140=3025\)
\(\displaystyle x_1=\frac{-15+55}{10}=4\)
\(\displaystyle x_2=\frac{-15-55}{10}=-7\)
\(x^2=-7\) – решений нет
\(x^2=4;\)
\(x=\pm2\).
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции на отрезке \([-8;-1]\):
Получилось, что наибольшее значение функции в точке \(-2\). Найдем значение функции в данной точке:
\(\displaystyle y(-2)=-2^5+5\cdot-2^3-140\cdot-2=208.\)
Ответ: \(208\).
Источник: ЕГЭ 2023 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 15) (Купить книгу)