Пример №15 из задания 11

Найдите наибольшее значение функции \( y=x^5+5x^3-140x \) на отрезке \( [-8; -1] \).


Решение

Наибольшее значение функция принимает в одной из точек экстремума. Чтобы найти их, найдем производную функции и приравняем ее к нулю:

\(\displaystyle y’=5x^4+15x^2-140.\)

\(\displaystyle 5x^4+15x^2-140=0;\)

Пусть \(x^2=t\):

\(5t^2+15t-140=0\)

\(D=b^2-4ac=225-4\cdot5\cdot-140=3025\)

\(\displaystyle x_1=\frac{-15+55}{10}=4\)

\(\displaystyle x_2=\frac{-15-55}{10}=-7\)

\(x^2=-7\) — решений нет

\(x^2=4;\)

\(x=\pm2\).

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции на отрезке \([-8;-1]\):

Получилось, что наибольшее значение функции в точке \(-2\). Найдем значение функции в данной точке:

\(\displaystyle y(-2)=-2^5+5\cdot-2^3-140\cdot-2=208.\)

Ответ: \(208\).


Источник: ЕГЭ 2023 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 15) (Купить книгу)