Пример №12 из задания 11

Найдите точку минимума функции \(\displaystyle y=\frac{4}{3}x \sqrt{x}-5x+4\).


Решение

Найдем производную функции, для этого преобразуем функцию \(\displaystyle y=\frac{4}{3}x \cdot x^{\frac{1}{2}}-5x+4=\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}-5x+4\):

\(\displaystyle y’=\frac{4}{3}\cdot \frac{3}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}}-5=2\sqrt{x}-5\).

Найдем точки экстремума функции, для этого приравняем производную функции к нулю:

\(2\sqrt{x}-5=0;\)

\(\sqrt{x}=2,5;\)

\(x=6,25.\)

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Точка минимума — точка, где производная меняет свой знак с минуса на плюс. В нашем случае точка минимума \(6,25\).

Ответ: \(6,25\).


Источник: ЕГЭ 2023 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 12) (Купить книгу)