Найдите точку минимума функции \displaystyle y=\frac{4}{3}x \sqrt{x}-5x+4.
Решение
Найдем производную функции, для этого преобразуем функцию \displaystyle y=\frac{4}{3}x \cdot x^{\frac{1}{2}}-5x+4=\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}-5x+4:
\displaystyle y'=\frac{4}{3}\cdot \frac{3}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}}-5=2\sqrt{x}-5.Найдем точки экстремума функции, для этого приравняем производную функции к нулю:
2\sqrt{x}-5=0; \sqrt{x}=2,5; x=6,25.Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Точка минимума – точка, где производная меняет свой знак с минуса на плюс. В нашем случае точка минимума 6,25.
Ответ: 6,25.
Источник: ЕГЭ 2023 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 12) (Купить книгу)