Найдите наименьшее значение функции \displaystyle y=\frac{4}{3}x \sqrt{x}-3x+9 на отрезке [0,25; 30] .
Решение
Наименьшее значение функция принимает в одной из точек экстремума. Чтобы найти их, найдем производную функции и приравняем ее к нулю.
Найдем производную функции, для этого преобразуем ее \displaystyle y=\frac{4}{3}x \cdot x^{\frac{1}{2}}-3x+9=\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}-3x+9:
\displaystyle y'=\frac{4}{3}\cdot \frac{3}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}}-3=2\sqrt{x}-3. 2\sqrt{x}-3=0; \sqrt{x}=1,5; x=2,25.Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции на отрезке [0,25;30]:
Получилось, что наименьшее значение функции в точке 2,25. Найдем значение функции в данной точке:
y(0,25)=\frac{4}{3}\cdot 2,25 \sqrt{2,25}-3\cdot2,25+9=6,75.Ответ: 6,75.
Источник: ЕГЭ 2023 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 11) (Купить книгу)