Найдите наименьшее значение функции \(\displaystyle y=\frac{4}{3}x \sqrt{x}-3x+9\) на отрезке \( [0,25; 30] \).
Решение
Наименьшее значение функция принимает в одной из точек экстремума. Чтобы найти их, найдем производную функции и приравняем ее к нулю.
Найдем производную функции, для этого преобразуем ее \(\displaystyle y=\frac{4}{3}x \cdot x^{\frac{1}{2}}-3x+9=\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}-3x+9\):
\(\displaystyle y’=\frac{4}{3}\cdot \frac{3}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}}-3=2\sqrt{x}-3\).
\(2\sqrt{x}-3=0;\)
\(\sqrt{x}=1,5;\)
\(x=2,25.\)
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции на отрезке \([0,25;30]\):
Получилось, что наименьшее значение функции в точке \(2,25\). Найдем значение функции в данной точке:
\(y(0,25)=\frac{4}{3}\cdot 2,25 \sqrt{2,25}-3\cdot2,25+9=6,75.\)
Ответ: \(6,75\).
Источник: ЕГЭ 2023 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 11) (Купить книгу)