Пример №10 из задания 11

Найдите наименьшее значение функции \(y=e^{2x}-9e^x-3\) на отрезке \( [0; 3] \).


Решение

Наименьшее значение функция принимает в одной из точек экстремума. Чтобы найти их, найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

Найдем производную функции, для этого воспользуемся правилом дифференцирования \( (e^x)’=e^x \cdot x’\):

\( y’=2e^{2x}-9e^x\).

\(2e^{2x}-9e^x=0;\)

\(e^x(2e^x-9)=0;\)

\(e^x=0\) — всегда больше нуля.

\(2e^x-9=0;\)

\(x=ln4,5.\)

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции на отрезке \([0;3]\):

Получилось, что наименьшее значение функции в точке \(ln4,5\). Найдем значение функции в данной точке:

\(\displaystyle y(ln4,5)=e^{2ln4,5}-9e^{ln4,5}-3=\) \((e^{ln4,5})^2-9\cdot 4,5-3=4,5^2-40,5-3=-23,25.\)

Ответ: \(-23,25\).


Источник: ЕГЭ 2023 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 10) (Купить книгу)