Найдите точку максимума функции y=(4x^2-36x+36)e^{33-x}.
Решение
Найдем производную функции, для этого применим следующие правила дифференцирования (uv)'=u'v+uv' и (e^u)'=e^u u':
\displaystyle y'=(4x^2-36x+36)' \cdot e^{33-x}+(4x^2-36x+36) \cdot (e^{33-x})'= \displaystyle (8x-36) \cdot e^{33-x}+(4x^2-36x+36) \cdot (-e^{33-x})= \displaystyle e^{33-x}(8x-36-4x^2+36x-36)= \displaystyle e^{33-x}(-4x^2+44x-72).Найдем точки экстремума функции, для этого приравняем производную функции к нулю:
\displaystyle e^{33-x}(-4x^2+44x-72)=0; e^{33-x}=0 или -4x^2+44x-72=0 e^{33-x}=0 – всегда больше нуля. -4x^2+44x-72=0; D=b^2-4ac=1936-4\cdot-4\cdot-72=784; \displaystyle x_1=\frac{-44-28}{-8}=9; \displaystyle x_1=\frac{-44+28}{-8}=2.Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Точка максимума – точка, где производная меняет свой знак с плюса на минус. В нашем случае точка максимума 9.
Ответ: 9.
Источник: ЕГЭ 2023 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 9) (Купить книгу)