Найдите точку максимума функции \(y=(4x^2-36x+36)e^{33-x}\).
Решение
Найдем производную функции, для этого применим следующие правила дифференцирования \( (uv)’=u’v+uv’\) и \((e^u)’=e^u u’\):
\( \displaystyle y’=(4x^2-36x+36)’ \cdot e^{33-x}+(4x^2-36x+36) \cdot (e^{33-x})’=\) \( \displaystyle (8x-36) \cdot e^{33-x}+(4x^2-36x+36) \cdot (-e^{33-x})=\) \( \displaystyle e^{33-x}(8x-36-4x^2+36x-36)=\) \( \displaystyle e^{33-x}(-4x^2+44x-72)\).
Найдем точки экстремума функции, для этого приравняем производную функции к нулю:
\( \displaystyle e^{33-x}(-4x^2+44x-72)=0;\)
\(e^{33-x}=0\) или \(-4x^2+44x-72=0\)
\(e^{33-x}=0\) – всегда больше нуля.
\(-4x^2+44x-72=0;\)
\(D=b^2-4ac=1936-4\cdot-4\cdot-72=784;\)
\(\displaystyle x_1=\frac{-44-28}{-8}=9;\)
\(\displaystyle x_1=\frac{-44+28}{-8}=2.\)
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Точка максимума – точка, где производная меняет свой знак с плюса на минус. В нашем случае точка максимума \(9\).
Ответ: \(9\).
Источник: ЕГЭ 2023 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 9) (Купить книгу)