Пример №9 из задания 11

Найдите точку максимума функции \(y=(4x^2-36x+36)e^{33-x}\).


Решение

Найдем производную функции, для этого применим следующие правила дифференцирования \( (uv)’=u’v+uv’\) и \((e^u)’=e^u u’\):

\( \displaystyle y’=(4x^2-36x+36)’ \cdot e^{33-x}+(4x^2-36x+36) \cdot (e^{33-x})’=\) \( \displaystyle (8x-36) \cdot e^{33-x}+(4x^2-36x+36) \cdot (-e^{33-x})=\) \( \displaystyle e^{33-x}(8x-36-4x^2+36x-36)=\) \( \displaystyle e^{33-x}(-4x^2+44x-72)\).

Найдем точки экстремума функции, для этого приравняем производную функции к нулю:

\( \displaystyle e^{33-x}(-4x^2+44x-72)=0;\)

\(e^{33-x}=0\) или \(-4x^2+44x-72=0\)

\(e^{33-x}=0\) — всегда больше нуля.

\(-4x^2+44x-72=0;\)

\(D=b^2-4ac=1936-4\cdot-4\cdot-72=784;\)

\(\displaystyle x_1=\frac{-44-28}{-8}=9;\)

\(\displaystyle x_1=\frac{-44+28}{-8}=2.\)

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Точка максимума — точка, где производная меняет свой знак с плюса на минус. В нашем случае точка максимума \(9\).

Ответ: \(9\).


Источник: ЕГЭ 2023 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 9) (Купить книгу)