Пример №7 из задания 11

Найдите точку максимума функции \(y=(2x-1)cosx-2sinx+9\), принадлежащую промежутку \(\displaystyle \left(0; \frac{\pi}{2} \right) \).


Решение

Найдем производную функции, для этого воспользуемся следующим правилом дифференцирования \((uv)’=u’v+uv’\):

\(y’=(2x-1)’cosx+(2x-1)cosx’-2cosx=(1-2x)sinx.\)

Найдем точки экстремума функции, для этого приравняем производную функции к нулю:

\((1-2x)sinx=0;\)

\(sinx=0\) или \(1-2x=0\)

\(x=0\) — не входит в заданный промежуток

\(x=0,5.\)

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Точка максимума — точка, где производная меняет свой знак с плюса на минус. В нашем случае точка максимума \(0,5\).

Ответ: \(0,5\).


Источник: ЕГЭ 2023 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 7) (Купить книгу)