Найдите наибольшее значение функции \(y=ln(x+18)^{12}-12x\) на отрезке \( [-17,5; 0] \).
Решение
Наибольшее значение функция принимает в одной из точек экстремума. Чтобы найти их, найдем производную функции и приравняем ее к нулю.
Найдем производную функции, для этого воспользуемся правилом дифференцирования \((lnx)’=\frac{1}{x}x’\):
\(\displaystyle y’=\frac{1}{(x+18)^{12}}12(x+18)^{11}-12=\) \(\displaystyle\frac{12(x+18)^{11}}{(x+18)^{12}}-12=\frac{12}{x+18}-12\).
\(\displaystyle \frac{12}{x+18}-12=0;\)
\(\displaystyle\frac{12}{x+18}=12;\)
\(12=12x+216;\)
\(x=-17.\)
ОДЗ: \(x\neq-18\).
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции на отрезке \([-17,5;0]\):
Получилось, что наибольшее значение функции в точке \(-17\). Найдем значение функции в данной точке:
\(\displaystyle y(-17)=ln(-17+18)^{12}-12\cdot-17=204\)
Ответ: \(204\).
Источник: ЕГЭ 2023 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 3) (Купить книгу)