Найдите наибольшее значение функции \(y=ln(x+18)^{12}-12x\) на отрезке \( [-17,5; 0] \).

---

Решение

Наибольшее значение функция принимает в одной из точек экстремума. Чтобы найти их, найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

Найдем производную функции, для этого воспользуемся правилом дифференцирования \((lnx)’=\frac{1}{x}x’\):

\(\displaystyle y’=\frac{1}{(x+18)^{12}}12(x+18)^{11}-12=\) \(\displaystyle\frac{12(x+18)^{11}}{(x+18)^{12}}-12=\frac{12}{x+18}-12\).

\(\displaystyle \frac{12}{x+18}-12=0;\)

\(\displaystyle\frac{12}{x+18}=12;\)

\(12=12x+216;\)

\(x=-17.\)

ОДЗ: \(x\neq-18\).

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции на отрезке \([-17,5;0]\):

Получилось, что наибольшее значение функции в точке \(-17\). Найдем значение функции в данной точке:

\(\displaystyle y(-17)=ln(-17+18)^{12}-12\cdot-17=204\)

Ответ: \(204\).

---

Источник: ЕГЭ 2023 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 3) (Купить книгу)