Найдите наименьшее значение функции \(y=x \sqrt{x}-27x+6\) на отрезке \([1;422]\).
Решение
Наименьшее значение функция принимает в одной из точек экстремума. Чтобы найти их, найдем производную функции и приравняем ее к нулю.
Преобразуем функцию \(\displaystyle y=x \cdot x^{\frac{1}{2}}-27x+6=x^{\frac{3}{2}}-27x+6\):
\(\displaystyle y’=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-27=\frac{3}{2}\sqrt{x}-27.\)
Приравняем производную к нулю:
\(\frac{3}{2}\sqrt{x}-27=0;\)
\(\sqrt{x}=18’\)
\(x=324.\)
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции на отрезке \([1; 422]\):
Получилось, что наименьшее значение функции в точке \(324\). Найдем значение функции в данной точке:
\(\displaystyle y(324)=324 \sqrt{324}-27\cdot 324+6=-2910.\)
Ответ: \(-2910\).
Источник: ЕГЭ 2023 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 1) (Купить книгу)