Найдите наименьшее значение функции y=x \sqrt{x}-27x+6 на отрезке [1;422].
Решение
Наименьшее значение функция принимает в одной из точек экстремума. Чтобы найти их, найдем производную функции и приравняем ее к нулю.
Преобразуем функцию \displaystyle y=x \cdot x^{\frac{1}{2}}-27x+6=x^{\frac{3}{2}}-27x+6:
\displaystyle y'=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}-27=\frac{3}{2}\sqrt{x}-27.Приравняем производную к нулю:
\frac{3}{2}\sqrt{x}-27=0; \sqrt{x}=18' x=324.Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции на отрезке [1; 422]:
Получилось, что наименьшее значение функции в точке 324. Найдем значение функции в данной точке:
\displaystyle y(324)=324 \sqrt{324}-27\cdot 324+6=-2910.Ответ: -2910.
Источник: ЕГЭ 2023 Математика. Профильный уровень. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов (вариант 1) (Купить книгу)