Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке N, лежащей на стороне CD. Докажите, что N — середина CD.
Решение
Нарисуем условие:
У параллелограмма противоположные стороны равны и параллельным AD=BC; DC \parallel AB.
Биссектриса делит угол пополам, значит \angle BAN=\angle DAN и \angle BAN=\angle AND – как внутренние накрест лежащий углы при параллельных прямых AB и DC и секущей AN. Отсюда можно написать:
\angle BAN=\angle DAN=\angle AND.Значит, треугольник DAN является равнобедренным. А у равнобедренного треугольника две стороны равны AD=DN.
Биссектриса делит угол пополам, значит \angle ABN=\angle CBN и \angle ABN=\angle BNC – как внутренние накрест лежащий углы при параллельных прямых AB и DC и секущей BN. Отсюда можно написать:
\angle ABN=\angle CBN=\angle BNC.Значит, треугольник BCN является равнобедренным. А у равнобедренного треугольника две стороны равны NC=BC.
Значит AD=DN=NC=BC, т.е. DN=NC. Получается N – середина стороны CD, что и требовалось доказать.
Источник: ОГЭ 2025. Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ. Ященко И. В. (вариант 3) (Решебник)