Биссектрисы углов B и C параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне AD. Докажите, что M — середина AD.
Решение
Нарисуем условие:
У параллелограмма противоположные стороны равны и параллельным AB=DC; AD \parallel BC.
Биссектриса делит угол пополам, значит \angle ABM=\angle CBM и \angle CBM=\angle AMB – как внутренние накрест лежащий углы при параллельных прямых AD и BC и секущей BM. Отсюда можно написать:
\angle ABM=\angle CBM=\angle AMB.Значит, треугольник ABM является равнобедренным. А у равнобедренного треугольника две стороны равны AB=AM.
Биссектриса делит угол пополам, значит \angle BCM=\angle DCM и \angle BCM=\angle CMD – как внутренние накрест лежащий углы при параллельных прямых AD и BC и секущей CM. Отсюда можно написать:
\angle BCM=\angle DCM=\angle CMD.Значит, треугольник DCM является равнобедренным. А у равнобедренного треугольника две стороны равны MD=CD.
Значит AB=AM=MD=DC, т.е. AM=MD. Получается M – середина стороны AD, что и требовалось доказать.
Источник: ОГЭ 2025. Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ. Ященко И. В. (вариант 2) (Решебник)