Биссектрисы углов C и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке L, лежащей на стороне AB. Докажите, что L — середина AB.
Решение
Нарисуем условие:
У параллелограмма противоположные стороны равны и параллельным AD=BC; AB \parallel DC.
Биссектриса делит угол пополам, значит \angle BCL=\angle DCL и \angle DCL=\angle BLC – как внутренние накрест лежащий углы при параллельных прямых AB и DC и секущей CL. Отсюда можно написать:
\angle BCL=\angle DCL=\angle BLC.Значит, треугольник CBL является равнобедренным. А у равнобедренного треугольника две стороны равны BL=BC.
Биссектриса делит угол пополам, значит \angle ADL=\angle CDL и \angle CDL=\angle ALD – как внутренние накрест лежащий углы при параллельных прямых AB и DC и секущей DL. Отсюда можно написать:
\angle ADL=\angle CDL=\angle ALD.Значит, треугольник ADL является равнобедренным. А у равнобедренного треугольника две стороны равны AL=AD.
Выше написали, что у AD=BC, значит, BL=BC=AL=AD, т.е. AL=BL. Получается L – середина стороны AB, что и требовалось доказать.
Источник: ОГЭ 2025. Математика. 50 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий от разработчиков ОГЭ. Ященко И. В. (вариант 1) (Решебник)