Три луча, выходящие из одной точки, разбивают плоскость на 3 разных угла

Три луча, выходящие из одной точки, разбивают плоскость на $3$ разных угла, измеряемых целым числом градусов. Наибольший угол в $3$ раза больше наименьшего. Сколько значений может принимать величина среднего угла?

Решение

Пусть $x$ – величина наименьшего угла; $y$ – величина среднего угла. Тогда, величина наибольшего угла – $3x$ (т.к. величина наибольшего угла в $3$ раза больше наименьшего).

Полный угол равен $360^{\circ}$ . Отсюда можно составить уравнение:

x+y+3x=360

;

y=360-4x

Т.к. величина среднего угла должна быть больше наименьшего угла и меньше наибольшего угла, можно составить систему уравнений:

\begin{cases}{y>x}\\{y<3x}\end{cases}

Подставим значение $y$ :

\begin{cases} {360-4x>x} \\ {360-4x<3x} \end{cases}

;

51.43<x<72

.51

Т.к. углы измеряются целым числом градусов (по условию), то в диапазоне от $51,43$ до $72$ таких значений $20$ (не включая $51,43$ и $72$ ).

Ответ: $20$ .

Источник: ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 14 вариантов заданий. (вариант №6) (Купить книгу)