Три луча, выходящие из одной точки, разбивают плоскость на \(3\) разных угла, измеряемых целым числом градусов. Наибольший угол в \(3\) раза больше наименьшего. Сколько значений может принимать величина среднего угла?
Решение
Пусть \(x\) – величина наименьшего угла; \(y\) – величина среднего угла. Тогда, величина наибольшего угла – \(3x\) (т.к. величина наибольшего угла в \(3\) раза больше наименьшего).
Полный угол равен \(360^{\circ}\). Отсюда можно составить уравнение:
\(x+y+3x=360\);
\(y=360-4x\).
Т.к. величина среднего угла должна быть больше наименьшего угла и меньше наибольшего угла, можно составить систему уравнений:
\(\begin{cases}{y>x}\\{y<3x}\end{cases}\).
Подставим значение \(y\):
\(\begin{cases} {360-4x>x} \\ {360-4x<3x} \end{cases}\);
\(51.43<x<72\).
Т.к. углы измеряются целым числом градусов (по условию), то в диапазоне от \(51,43\) до \(72\) таких значений \(20\) (не включая \(51,43\) и \(72\)).
Ответ: \(20\).
Источник: ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 14 вариантов заданий. (вариант №6) (Купить книгу)