Медиана равностороннего треугольника равна 18\sqrt{3}. Найдите сторону этого треугольника.
Решение
Введем обозначения:
Треугольник ABC – равносторонний. А в равностороннем треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.
Медиана делит сторону пополам на которую она опущена:
\displaystyle AH=HC=\frac{AC}{2}.Пусть AH=HC=x. Можно записать:
\displaystyle x=\frac{AC}{2} отсюда AC=2x.Т.к. треугольник равносторонний, значит AC=AB=BC=2x.
Треугольник ABH является прямоугольным, т.к. BH – высота. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABH найдем сторону AH:
AB^2=AH^2+BH^2; (2x)^2=x^2+(18\sqrt{3})^2; 4x^2=x^2+324 \cdot 3; 4x^2-x^2=972; 3x^2=972; x^2=324; x=18.Найдем сторону треугольника ABC: AC=AB=BC=2x=2 \cdot 18=36.
Ответ: 36.
Источник: ОГЭ-2025. Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов. Ященко И. В. (вариант 12) (Решебник)