Список заданий викторины состоял из \(36\) вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал \(5\) очков, за неправильный ответ с него списывали \(11\) очков, а при отсутствие ответа давали \(0\) очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший \(75\) очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?
Решение
Пусть \(x\) — количество правильных ответов, \(y\) — количество неправильных ответов (причем \(y≥1\) , т.к. известно, что ученик хотя бы один раз ошибся) и \(z\) — количество заданий без ответа. Тогда можно составить первое уравнение:
\(x+y+z=36\) .
Т.к. за каждый правильный ответ ученик получал \(5\) очков, за неправильный списывали \(11\) очков, а если не отвечал, то давали \(0\) очков. То можно составить уравнение:
\(5x-11y+0z=75\) (т.к. ученик набрал \(75\) баллов).
\(-11y=75-5x\) .
Т.к. правая часть уравнения \(75-5x\) делится на \(5\) , то и левая часть \(-11y\) должна делиться на \(5\) . Предположим, что \(y=5\) , тогда получим:
\(-11⋅5=75-5x\) ;
\(x=26\) .
Подставим xx в первое уравнение:
\(26+5+z=36\) ;
\(z=5\) .
Предположим, что \(y=10\) , тогда получим:
\(-11⋅10=75-5x\) ;
\(x=37\) — противоречит, т.к. всего \(36\) вопросов. Значит, дальше считать нет смысла. Получается, что ученик дал \(26\) верных ответов.
Ответ: \(26\) .
Источник: ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 14 вариантов заданий. (вариант №10) (Купить книгу)