Список заданий викторины состоял из \(33\) вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал \(7\) очков, за неправильный ответ с него списывали \(12\) очков, а при отсутствии ответа давали \(0\) очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший \(70\) очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?
Решение
Пусть \(x\) – количество правильных ответов, \(y\) – количество неправильных ответов (причем \(y≥1\), т.к. известно, что ученик хотя бы один раз ошибся) и \(z\) – количество заданий без ответа. Тогда можно составить первое уравнение:
\(x+y+z=33\).
Т.к. за каждый правильный ответ ученик получал \(7\) очков, за неправильный списывали \(12\) очков, а если не отвечал, то давали \(0\) очков. То можно составить уравнение:
\(7x-12y+0z=70\) (т.к. ученик набрал \(70\) баллов).
\(-12y=70-7x\).
Т.к. правая часть уравнения \(70−7x\) делится на \(7\), то и левая часть \(-12y\) должна делиться на \(7\). Предположим, что \(y=7\), тогда получим:
\(-12⋅7=70−7x\);
\(x=22\).
Подставим x в первое уравнение:
\(22+7+z=33\);
\(z=4\).
Предположим, что \(y=14\), тогда получим:
\(-12⋅14=70-7x\);
\(x=34\) – противоречит, т.к. всего \(33\) вопроса. Значит, дальше считать нет смысла. Получается, что ученик дал \(22\) верных ответа.
Ответ: \(22\).
Источник: ЕГЭ 2019. Математика. Базовый уровень. Типовые тестовые задания. 14 вариантов заданий. (вариант №11) (Купить книгу)